Матцентр ФМЛ №239 · 2020
8 задач по порядку. Ответы и отметки сохраняются в браузере — можно вернуться позже.
- 1
В степи растут дуб, тополь и липа. От дуба до ближайшего из двух других деревьев 2 км, от липы до ближайшего из двух других деревьев 3 км. Каким может быть расстояние от тополя до ближайшего из двух других деревьев? Перечислите через точку с запятой все возможные варианты. Ответы указывайте в метрах. Обоснуйте почему другие ответы невозможны.
- 2
В детский сад ходят 100 девочек. У Маши есть 100 конфет, а у остальных девочек конфет нет. Любая девочка, имеющая хотя бы две конфеты, может дать по одной конфете любым двум другим девочкам. Можно ли сделать так, что все конфеты окажутся у Светы?
- 3
Оригинальная задача. Каждую грань большого кубика разделили на 4 квадратика. Квадратики называются соседними, если у них есть общая сторона. Например, на рисунке квадратики А и В соседние, квадратики В и С тоже соседние. Каждый квадратик покрасили в один из трех цветов: синий, желтый или красный. При этом любые два соседних квадратика оказались разного цвета. Докажите, что синих квадратиков оказалось ровно 8.
Дополнение от Minimath239:- Выберите утверждение которое, на ваш взгляд, можно взять за основу доказательства.
- 4
26 школьников класса (13 мальчиков и 13 девочек) выстроились в ряд по убыванию роста (слева - самый высокий школьник класса): МММДДМММДДДММДДДДДММММДМДД. Могут ли они образовать 12 пар для танца так, чтобы в каждой паре мальчик был выше девочки?
- 5
Шахматный король хочет обойти все клетки доски 10 × 10 по одному разу (начав с какой-нибудь клетки и закончив на какой-то другой). Сможет ли он сделать это, если будет чередовать горизонтальные ходы с вертикальными (и не будет делать диагональных)?
- 6
Леша позвал на день рождения трeх гостей. Войдя в комнату, гости увидели на столе торт, как-то разрезанный на 10 кусков. Верно ли, что какими бы ни были эти куски, Леша сможет выбрать один из них, разрезать его на три части и получившиеся 12 кусков раздать трeм гостям поровну?
- 7
Можно ли расставить числа от 1 до 2222 по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?
- 8
На прямой отмечено 20 точек. На каждой из отмеченных точек написана сумма расстояний от неe до всех остальных отмеченных точек. Могут ли написанные числа быть двадцатью последовательными целыми числами в каком-то порядке? (Расстояния между точками - не обязательно целые числа).
Ответы и отметки сохраняются только на этом устройстве. Ключей у этих работ нет — сверяйтесь с разбором на занятии или пришлите решения мне.
Условия собраны с сайта minimath239.ru — спасибо ему за архив.