Матцентр ФМЛ №239 · 2025
8 задач по порядку. Ответы и отметки сохраняются в браузере — можно вернуться позже.
- 1
Саша записал в тетрадку 160 последовательных натуральных чисел (в порядке возрастания). Он вычислил сумму первых восьмидесяти из них — получилось число, которое оканчивается на 40404040. Затем он вычислил сумму последних восьмидесяти из них. Каковы последние восемь цифр этой суммы?
- 2
Надя переходит речку по железнодорожному мосту. Когда она прошла три пятых длины моста, вдали показался поезд, который едет прямо ей навстречу. Чтобы не попасть под поезд, Наде хватает времени ровно для того, чтобы добежать до любого из концов моста (в обоих случаях поезд поравняется с Надей ровно в тот момент, когда она добежит до конца моста). Надя всегда бежит с одинаковой скоростью, скорость поезда тоже постоянна. Во сколько раз скорость поезда больше скорости Нади?
- 3
На калькуляторе есть кнопка «прибавить к числу его первую цифру». (Например, из числа 932 после нажатия этой кнопки получится число 932 + 9 = 941.) Верно ли, что если ввести в калькулятор любое трехзначное число и начать много раз нажимать на эту кнопку, то когда-нибудь получится число 33333?
- 4
В клетках таблицы 10 × 10 расставили натуральные числа. Назовем клетку таблицы удачной, если число в этой клетке или равно сумме всех остальных чисел в той же строке, или равно сумме всех остальных чисел в том же столбце. Какое наибольшее количество клеток могло оказаться удачными?
- 5
В олимпиаде, состоящей из двух туров, участвуют 45 школьников. На первом туре их как-то рассадили по нескольким кабинетам, и каждый запомнил, сколько участников (включая его) было в его кабинете. На втором туре их снова как-то рассадили по кабинетам (не обязательно по тем же самым) и каждый участник снова запомнил количество человек в его кабинете. Могло ли оказаться, что любые два участника хотя бы в одном из двух туров сидели в кабинетах с разным числом участников?
- 6
В городе 4 музея: A, B, C, D. От любого до любого можно добраться на такси за фиксированную цену (цена поездки в противоположных направлениях может отличаться). Выполняется условие: проехать от одного музея до другого напрямую дешевле, чем заезжая по дороге в другие музеи. Андрей объехал все музеи по циклу: A → B → C → D → A. За все четыре поездки он заплатил суммарно 1000 рублей. Докажите, что объехать музеи в обратном порядке (A → D → C → B → A) ему будет стоить меньше 3000 рублей.
На олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому. - 7
Есть восемь монет, шесть из которых настоящие и весят одинаково, и две – фальшивые, и тоже весят одинаково (но неизвестно, легче или тяжелее настоящих). Есть обычные весы с двумя чашками; можно положить на обе чашки любое количество монет и весы покажут, на какой чашке масса монет больше (или покажут равновесие). Требуется сделать два взвешивания, после чего разбить монеты на две группы по четыре монеты, в каждой из которых ровно по одной фальшивой монете. Как это сделать?
На олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому. - 8
Вечером мачеха дала Золушке 19 зернышек с весами 1 г, 2 г, ... , 19 г и сказала, что их надо разложить в Две миски красную и синюю так, чтобы массы зернышек в мисках были равны. Мачеха велела Золушке перебрать все возможные способы это сделать и записать все эти способы в тетрадку. (Вот, например, один из способов: зернышки по 19, 18, 17, 16, 15 и 10 грамм – в красной миске, остальные – в синей.) За ночь Золушка выполнила это задание.
На следующую ночь мачеха дала Золушке такое же задание, но уже про 20 зернышек: 1 г, 2 г, ... , 19 г, 20 г. Золушка выписала во вторую тетрадку все способы разложить в красную и синюю миски эти зернышки. Докажите, что во второй тетрадке оказалось больше способов, чем в первой.
На олимпиаде эту задачу объясняют устно — расскажите решение взрослому.
Ответы и отметки сохраняются только на этом устройстве. Ключей у этих работ нет — сверяйтесь с разбором на занятии или пришлите решения мне.
Условия собраны с сайта minimath239.ru — спасибо ему за архив.